Rozwiązanie równania struny metodą d’Alemberta

Rozważmy równanie struny

\( u_{tt}=a^2 u_{xx}, \quad a> 0, \)

w obszarze \( \hskip 0.3pc D=\{(x,t)\in \mathbb{R}^2:t> 0\}\hskip 0.3pc \) spełniające warunki początkowe:

\( u(x,0)=\varphi (x), \quad u_t(x,0)= \psi (x), \quad x \in \mathbb{R}, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \psi \hskip 0.3pc \) są zadanymi funkcjami.
Równanie charakterystyk w naszym przypadku ma postać

\( \Big(\dfrac{dx}{dt}\Big)^2-a^2=0. \)

Rozwiązując równania

\( \dfrac{dx}{dt}=a, \quad \dfrac{dx}{dt}=-a, \)

otrzymamy następujące rodziny rozwiązań

\( x-at=C_1, \quad x+at=C_2. \)

Stosując podstawienie

\( \xi =x-at, \quad \eta = x+at, \)

równanie wyjściowe sprowadzimy do postaci

\( \dfrac{\partial^2w}{\partial \xi \partial \eta}=0. \)

Całkując względem \( \hskip 0.3pc \eta\hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( \dfrac{\partial w}{\partial \xi}= f(\xi ), \)

a następnie całkując względem \( \hskip 0.3pc \xi\hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( w(\xi ,\eta )= \int f(\xi )\,d\xi + G(\eta ) = F(\xi ) + G(\eta ), \)

gdzie \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc G\hskip 0.3pc \) są dowolnymi funkcjami klasy \( \hskip 0.3pc C^2\hskip 0.3pc \) . Wracając do zmiennych wyjściowych mamy

(3)

\( u(x,t)=F(x-at)+G(x+at). \)

Rozwiązania zadane odpowiednio funkcjami \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc G\hskip 0.3pc \) nazywają się falami prostymi. Uwzględniając warunki początkowe mamy

\( u(x,0)= F(x)+G(x)=\varphi (x), \)

\( u_t(x,0)= -a F^\prime(x)+a G^\prime(x)= \psi (x). \)

Rozwiązując układ równań

\( F(x)+G(x)= \varphi (x), \)

\( -F^\prime(x)+G^\prime(x)=\dfrac 1a \psi (x), \)

otrzymamy

\( G^\prime(x)=\dfrac 12 \varphi^\prime(x)+\dfrac 1{2a}\psi (x), \)

a po scałkowaniu w przedziale \( \hskip 0.3pc [x_0, x]\hskip 0.3pc \) dostajemy

\( G(x)=\dfrac 12 \varphi (x) - \dfrac 12 \varphi (x_0) +\dfrac 1{2a} \displaystyle\int\limits_{x_0}^x\psi (s)\,ds+G(x_0). \)

Z pierwszego równania mamy

\( F(x)=\varphi (x) -G(x)=\dfrac 12 \varphi (x)- \dfrac 1{2a}\displaystyle\int\limits_{x_0}^x\psi (s)\,ds+\dfrac 12 \varphi (x_0) -G(x_0). \)

Postawiając uzyskane wzory na \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc G\hskip 0.3pc \) do ( 3 ) otrzymamy

\( u(x,t)= \dfrac 12 \big(\varphi (x-at)+ \varphi (x+at)\big)- \dfrac 1{2a}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x-at}\psi (s)\,ds +\dfrac 1{2a}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x+at}\psi (s)\,ds, \)

a po przekształceniu całek

(4)

\( u(x,t)= \dfrac 12 \big(\varphi (x-at)+ \varphi (x+at)\big) + \dfrac 1{2a}\displaystyle\int\limits_{x-at}^{x+at}\psi (s)\,ds. \)

Uzyskany w ten sposób wzór ( 4 ) na rozwiązanie problemu początkowego ( 1 ), ( 2 ) nosi nazwę wzoru d'Alemberta.

Uwaga 1:

Ze wzoru ( 4 ) wynika natychmiast, że rozwiązanie problemu ( 1 ), ( 2 ) zależy w sposób ciągły od warunków początkowych. Istotnie, niech \( \hskip 0.3pc u_1\hskip 0.3pc \) będzie rozwiązaniem równania ( 1 ) odpowiadającym położeniu początkowemu \( \hskip 0.3pc \varphi_1\hskip 0.3pc \) oraz prędkości początkowej \( \hskip 0.3pc \psi_1\hskip 0.3pc \) zaś \( \hskip 0.3pc u_2\hskip 0.3pc \) rozwiązaniem odpowiadającym położeniu początkowemu \( \hskip 0.3pc \varphi_2\hskip 0.3pc \) oraz prędkości początkowej \( \hskip 0.3pc \psi_2.\hskip 0.3pc \) Załóżmy, że

\( |\varphi_2(x)-\varphi_1(x)|<\delta, \quad |\psi_2(x)- \psi_1(x)|<\delta\quad {\rm dla}\hskip 0.5pc x\in\mathbb{R}. \)

Wykorzystując wzór ( 4 ) łatwo sprawdzić, że

\( |u_2(x,t)-u_1(x,t)|<(1+t)\delta\quad {\rm dla}\hskip 0.5pc x\in \mathbb{R}. \)

Uwaga 2:

Z liniowości operacji różniczkowania widać natychmiast, że jeśli

\( \varphi = \varphi_1 + \varphi_2, \qquad\psi = \psi_1 +\psi_2 , \)

to rozwiązanie problemu ( 1 ), ( 2 ) możemy przedstawić jako sumę \( \hskip 0.3pc u=u_1+u_2,\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc u_1\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 1 ) spełniającym warunki początkowe

\( u(x,0)=\varphi_1(x),\qquad u_t(x,0)=\psi_1(x), \)

a \( \hskip 0.3pc u_2\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem problemu ( 1 ) spełniającym warunki początkowe

\( u(x,0)=\varphi_2(x),\qquad u_t(x,0)=\psi_2 (x). \)

Zauważmy jeszcze, że jeśli \( \hskip 0.3pc \varphi =0,\hskip 0.3pc \) rozwiązanie problemu ( 1 ), ( 2 ) przyjmuje postać

(5)

\( u(x,t)=\dfrac 1{2a} \int\limits_{x-at}^{x+at}\psi (s)\,ds, \)

a jeśli \( \hskip 0.3pc \psi =0,\hskip 0.3pc \) postać

(6)

\( u(x,t)= \dfrac{\varphi (x-at)+\varphi (x+at)}{2}. \)

Uwaga 3:

Zinterpretujemy teraz rozwiązanie ogólne równania ( 1 ) dane wzorem ( 3 ). Rozważmy wpierw przypadek \( \hskip 0.3pc G=0.\hskip 0.3pc \) Wówczas

\( u(x,t)=F(x-at). \)

Zauważmy, że na prostej \( \hskip 0.3pc x-at=x_0\hskip 0.3pc \) amplituda fali jest stała i wynosi \( \hskip 0.3pc F(x_0),\hskip 0.3pc \) przy czym fala ta rozchodzi się z prędkością \( \hskip 0.3pc a\hskip 0.3pc \) w kierunku dodatnim osi \( \hskip 0.3pc Ox.\hskip 0.3pc \)
Podobnie, jeśli \( \hskip 0.3pc F=0,\hskip 0.3pc \) równanie fali ma postać

\( u(x,t)=G(x+at), \)

amplituda fali jest stała na prostej \( \hskip 0.3pc x+at=x_0\hskip 0.3pc \) i wynosi \( \hskip 0.3pc G(x_0),\hskip 0.3pc \) a fala rozchodzi się z prędkości \( \hskip 0.3pc a\hskip 0.3pc \) w kierunku ujemnym osi \( \hskip 0.3pc Ox\hskip 0.3pc \)
Przypuśćmy teraz, że funkcje \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc G\hskip 0.3pc \) są równe zeru poza przedziałem \( \hskip 0.3pc [\alpha, \beta].\hskip 0.3pc \)
Wówczas fala prosta zadana funkcją \( \hskip 0.3pc F(x-at)\hskip 0.3pc \) w płaszczyźnie \( \hskip 0.3pc Oxu\hskip 0.3pc \) przesuwa się w obszarze \( \hskip 0.3pc D_2\hskip 0.3pc \) wyznaczonym prostymi \( \hskip 0.3pc x-at=\alpha,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc x-at=\beta,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc t\geq 0,\hskip 0.3pc \) a fala zadana funkcją \( \hskip 0.3pc G(x+at)\hskip 0.3pc \) przesuwa się w obszarze \( \hskip 0.3pc D_1\hskip 0.3pc \) wynaczonym prostymi \( \hskip 0.3pc x+at=\alpha,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc x+at = \beta,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc t\geq 0\hskip 0.3pc \)(zob. Rys. 1 ). Rzutując rozwiązanie na oś \( \hskip 0.3pc Ox\hskip 0.3pc \) możemy stwierdzić, że fala prosta opisana funkcją \( \hskip 0.3pc F(x-at)\hskip 0.3pc \) przesuwa się względem osi \( \hskip 0.3pc Ox\hskip 0.3pc \) z prędkością \( \hskip 0.3pc a\hskip 0.3pc \) w kierunku dodatnim osi \( \hskip 0.3pc Ox,\hskip 0.3pc \) zaś fala prosta opisana funkcją \( \hskip 0.3pc G(x+at)\hskip 0.3pc \) przesuwa się względem osi \( \hskip 0.3pc Ox\hskip 0.3pc \) z prędkością \( \hskip 0.3pc a\hskip 0.3pc \) w kierunku ujemnym osi \( \hskip 0.3pc Ox. \hskip 0.3pc \)

Rysunek 1: Rysunek 1.

Przykład 1:

Rozważmy przypadek, gdy prędkość początkowa \( \hskip 0.3pc \psi =0,\hskip 0.3pc \) a położenie początkowe \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) ma postać

\( \varphi (x)=\begin{cases}x+\alpha, &{\rm jeśli}\hskip 0.5pc-\alpha\leq x\leq 0;\\\alpha -x, & {\rm jeśli }\hskip 0.5pc 0<x\leq \alpha;\\0, &{\rm jeśli }\hskip 0.5pc |x|>\alpha,\end{cases} \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \alpha >0.\hskip 0.3pc \) Zgodnie z uwagą 2 rozwiązanie wyraża się wzorem ( 6 ). Nietrudno sprawdzić, że \( \hskip 0.3pc u(x,0)=\varphi (x),\hskip 0.3pc \)

\( u\big(x,\alpha/(2a)\big)=\begin{cases}x/2+3\alpha /4,&{\rm jeśli}\,\,\,-3\alpha /2\leq x < -\alpha /2;\\\alpha /2, & {\rm jeśli }\,\,\,|x|\leq \alpha /2;\\-x/2+ 3\alpha /4, & {\rm jeśli }\,\,\,\,\alpha /2< x\leq 3\alpha /2;\\0, &{\rm jeśli }\,\,\,\, |x|>3\alpha /2.\end{cases} \)

oraz

\( u\big(x,\alpha/a\big)=\begin{cases}x/2+\alpha, &{\rm jeśli}\,\,\,-2\alpha \leq x < -\alpha ;\\-x /2, & {\rm jeśli }\,\,\,-\alpha \leq x\leq 0;\\x /2, & {\rm jeśli }\,\,\,0< x\leq \alpha ;\\\alpha -x/2, & {\rm jeśli }\,\,\,\,\alpha < x\leq 2\alpha ;\\0, &{\rm jeśli }\,\,\,\, |x|>2\alpha .\end{cases} \)

Wartości funkcji \( \hskip 0.3pc u(x,t)\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc t=0,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc t=\dfrac{\alpha}{2a}\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc t=\dfrac{\alpha}{a}\hskip 0.3pc \)

zostały przedstawione na rysunkach Rys. 2, Rys. 3 i Rys. 4.

Rysunek 2:

Rysunek 3:

Rysunek 4:

Uwaga 4:

Jeśli funkcje \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \psi\hskip 0.3pc \) są nieparzyste, to

\( u(0,t)= \dfrac{\varphi (at)+\varphi (-at)}2+\dfrac 1{2a} \displaystyle\int\limits_{-at}^{at} \psi (s)\,ds =0. \)

Jeśli funkcje \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \psi\hskip 0.3pc \) są parzyste, to

\( \dfrac{\partial}{\partial x}u(0,t)=\dfrac{\varphi \prime (at)+\varphi \prime(-at)}2+ \dfrac 1{2a}\Big(\psi (at)- \psi (-at)\Big) =0. \)

Skorzystaliśmy tutaj z oczywistego faktu, że \( \hskip 0.3pc \varphi^\prime\hskip 0.3pc \) jako pochodna funkcji parzystej jest funkcją nieparzystą. Uzyskane relacje wykorzystamy przy rozwiązywaniu równania struny na półosi dodatniej (zobacz poniżej przykład 2).

Przykład 2:

Rozważmy równanie ( 1 ) dla \( \hskip 0.3pc x>0.\hskip 0.3pc \) Załóżmy, że zachodzą warunki ( 2 ) dla \( \hskip 0.3pc x>0.\hskip 0.3pc \) Oczywiście w tym przypadku ze wzoru ( 4 ) nie możemy skorzystać bezpośrednio, bowiem funkcje \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \psi\hskip 0.3pc \) nie są określone dla \( \hskip 0.3pc x<0.\hskip 0.3pc \)
Przypadek 1. Załóżmy dodatkowo, że szukamy rozwiązania spełniającego warunek

\( u(0,t)=0\quad {\rm dla }\quad t>0. \)

Wykorzystując uwagę 4 możmy rozszerzyć funkcje \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \psi\hskip 0.3pc \) na prostą \( \hskip 0.3pc \mathbb{R}\hskip 0.3pc \) jako funkcje nieparzyste. Połóżmy

\( \Phi (x)=\begin{cases}\varphi (x), & {\rm dla }\,\,\,x> 0;\\ -\varphi(-x), & {\rm dla }\,\,\,x<0,\end{cases}\qquad\Psi (x)= \begin{cases}\psi (x), & {\rm dla }\,\,\,x > 0; \\-\psi (-x), & {\rm dla }\,\,\, x<0.\end{cases} \)

Przyjmijmy ponadto, że \( \hskip 0.3pc \Phi (0)=0,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \Psi (0)=0.\hskip 0.3pc \)
Rozwiązanie równania ( 1 ) z warunkami początkowymi

\( u(x,0)=\Phi (x),\qquad u_t(x,0)= \Psi (x)\quad {\rm dla} \quad x\in \mathbb R, \)

zgodnie z formułą ( 4 ) wyraża się wzorem

(7)

\( u(x,t)=\dfrac{\Phi (x+at)+\Phi (x-at)}2 +\dfrac 1{2a} \int\limits_{x-at}^{x+at}\Psi (s)\,ds. \)

Zatem wzór na rozwiązanie problemu wyjściowego ma ostatecznie postać

\( u(x,t)=\begin{cases}\dfrac{\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}2 +\dfrac 1{2a} \displaystyle\int\limits_{x-at}^{x+at}\psi (s)\,ds,\quad t>0,\,\,at<x;\\ \dfrac{\varphi (x+at)-\varphi (at-x)}2 +\dfrac 1{2a}\displaystyle\int\limits_{at-x}^{x+at}\psi (s)ds,\quad t>0,\,\,0<x<at.\\\end{cases} \)

Przypadek 2. Załóżmy teraz, że

\( u_x(0,t)=0\quad {\rm dla }\quad t>0. \)

Wykorzystując ponownie uwagę 4 rozszerzamy funkcje \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \psi\hskip 0.3pc \) na \( \hskip 0.3pc \mathbb{R}\hskip 0.3pc \) jako funkcje parzyste, czyli

\( \Phi (x)=\begin{cases}\varphi (x), & {\rm dla }\,\,\,x>0;\\\varphi(-x), & {\rm dla }\,\,\,x<0,\end{cases}\qquad\Psi (x)= \begin{cases}\psi (x), & {\rm dla }\,\,\,x>0; \\\psi (-x), & {\rm dla }\,\,\, x<0.\end{cases} \)

Podobnie jak w przypadku 1 rozwiązanie równania ( 1 ) z warunkami początkowymi

\( u(x,0)=\Phi (x),\quad u_t(x,0)= \Psi (x)\quad {\rm dla} \quad x\in \mathbb{R}, \)

wyraża się wzorem ( 7 ).
Stąd wzór na rozwiązanie problemu wyjściowego ma postać:

\( u(x,t)=\begin{cases}\dfrac{\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}2 +\dfrac 1{2a}\displaystyle\int\limits_{x-at}^{x+at}\psi (s)\,ds,\quad t>0,\,\,x>at;\\ \dfrac{\varphi (x+at)+\varphi (at-x)}2 +\dfrac 1{a} \displaystyle\int\limits_{0}^{at-x}\psi (s)ds+\dfrac 1{2a}\displaystyle\int\limits_{at-x}^{x+at}\psi (s)ds, \quad t>0,\,\,0<x<at.\\\end{cases} \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email: